热搜:这个笑话,笑话背后
读史使人明智,读诗使人灵秀,数学使人严谨,物理学家使人深刻,伦理学使人庄重,逻辑学、修辞学使人善辩;凡有学者,皆成性格。
——培根
开场笑话
从总体上看,数学家是一群十分谨慎的人。相传有这么一个故事,说的是有一位天文学家、一位物理学家以及一位数学家同乘一列火车,火车奔跑在苏格兰的田野上。这时候他们的窗外出现了一只黑色的绵羊,吸引了三位的注意。
在座的天文学家不禁感叹:“真有趣!原来全苏格兰的羊都是黑色的!”
物理学家听后对这个说法表示感到疑惑,纠正道:“你的意思难道不是有些苏格兰的羊是黑色的吗?”
一旁的数学家听完他们的对话,觉得他们都冲动,缓缓说道:“我觉得你们俩的意思是,在我们目光所及的这一片的苏格兰境内,至少有一只羊是黑色的。”
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开场故事
这个笑话背后有它深刻的意义:在数学世界里,人们特别容易得到错误的结论。
历史上出现的典型就是马尔法蒂问题。一位名为马尔法蒂的数学家提出了一个问题:在已知的三角形里,如何画三个不相交的圆形,让三者的面积之和最大?
这是一个典型的装箱问题,马尔法蒂本人在1803年将它提出之后,他马上认为自己已经找到了答案:如果你能保证每个圆都和三角形两条边相切,同时与另外两个圆相切,那么这就是你想要的答案。
马尔法蒂的解法 图一
在其后的一百年间,大家都认为这个问题已经找到了完美的解决方案。虽然这个问题并不太重要,但它在不少知名数学家手中转了一圈,似乎大家都对马尔法蒂的解法相当满意。
然而,在1930年,有人发现一件怪事:如果面对一个等边三角形,马尔法蒂的解法是错误的。
马尔法蒂的解法之等边三角形↑
按照他的说法,答案应为三个圆形的总面积占整个三角形的比例是:
≈0.729
但如果你换个方式调整和排列三个圆形,能得到一个更好的答案:首先画一个三角形内面积最大的圆,然后在剩下的区域内塞下两个较小的圆:
≈0.739
欧几里得的严谨
2.6 古今由圆外一点向圆作切线的不同
从欧氏几何诞生起就有少数人对它忐忑不安,其中包括欧几里得本人。他们主要怀疑的是第五公设。因为只有第五公设涉及无限,这是人们经验之外的东西。
下面以“由圆外一点 P 向⊙O作切线”这一作图为例,说明欧几里得处理问题之严谨。
现在常见作法:如图2.6-1所示,连接 OP ,作中点 M ,以 M 为圆心, MO 为半径作圆交⊙O于N ,则 PN 即为所求作的切线。
《几何原本》作法:如图2.6-2所示,连接 OP 交⊙O于 A ,过 A 作 OP 的垂线,交以O为圆心, OP 为半径的圆于点 B ,连接 OB 交以O为圆心, OA 为半径的圆于点 C ,则 PC 即为所求作的切线。
可能很多读者都会认为图2.6-1的作法更简单一些,图2.6-2的作法则走了点弯路。为什么《几何原本》不采用图2.6-1的简单作法呢?以欧几里得之天才,不可能想不到啊?而一旦当你悟出二者的差别时,你一定会对欧几里得这位前辈充满敬意。因为三角形内角和定理与欧式平行公设是等价的,而圆直径所对的角为直角则是由三角形内角和等于180°推导得到的。平行公设被认为是《几何原本》中“最大的疑点”,欧几里得使用图2.6-2的作法,就是希望避开它。
数学哲学