笑话哦热搜：一则笑话,数学笑话
杨振宁是当代的大物理学家, 又是现代数学发展的重要推动者, 他的两项巨大成就: 杨–密尔斯规范场和杨–巴克斯特方程, 成为80年代以来一系列数学研究的出发点, 其影响遍及微分几何、偏微分方程、低维拓扑、辫结理论、量子群等重大数学学科。笔者曾在「杨振宁与当代数学」的访谈录中有过较为详细的介绍(此文的中文版在台湾「数学传播」1992年4月发表, 内容不全相同的英文版刊于「Mathematical Intelligencer」Vol.15,NO。.4,1993。它的中译文已被收入杨振宁的新着「读书教学再十年」(台湾时报出版公司,1995), 这里记录的有关数学与物理学的关系, 来自笔者在1995年末在纽约州立大学(石溪) 访问杨振宁先生时的一些谈话材料, 因为不是系统的谈话, 故称「漫谈」。
一. 有关数学的两则「笑话」
1980年代初, 杨振宁曾在韩国汉城作物理学演讲时说「有那么两种数学书: 第一种你看了第一页就不想看了, 第二种是你看了第一句话就不想看了」。当时引得物理学家们轰堂大笑。此话事出有因。1969年, 杨振宁察觉物理上的规范场理论和数学上的纤维丛理论可能有关系, 就把著名拓扑学家Steenrod着的「The Topology of Fibre Bundles纤维丛的拓扑)」一书拿来读, 结果是一无所获。原因是该书从头至尾都是定义、定理、推论式的纯粹抽象演绎, 生动活泼的实际背景淹没在形式逻辑的海洋之中, 使人摸不着头脑。
上述汉城演讲中那句话本来是即兴所开的玩笑, 不能当真的。岂料不久之后被「Mathematical Intelligencer」捅了出来, 公之与众。在数学界当然会有人表示反对, 认为数学书本来就应该是那样的。不过, 杨振宁先生说「我相信会有许多数学家支持我, 因为数学毕竟要让更多的人来欣赏, 才会产生更大的效果」。
我想, 杨振宁是当代物理学家中特别偏爱数学, 而且大量运用数学的少数物理学者之一。如果连他也对某些数学著作的表达方式啧有烦言, 遑论其它的物理学家? 更不要说生物学家、经济学家、一般的社会科学家和读者了。
另一则笑话, 可在波兰裔美国数学名家S.M.Ulam 的自传「一个数学家的遭遇(Advantures of a mathematician) 」中读到。该书294页上写道: 「杨振宁, 诺贝尔写道: 「杨振宁, 诺贝尔物理学奖获得者, 讲了一个有关现时数学家和物理家间不同思考方式的故事: 一天晚上, 一帮人来到一个小镇。他们有许多衣服要洗, 于是满街找洗衣房。突然他们见到一扇窗户上有标记:『这里是洗衣房』。一个人高声问道: 『我们可以把衣服留在这儿让你洗吗?』窗内的老板回答说:『不, 我们不洗衣服。』来人又问道:『你们窗户上不是写着是洗衣房吗』。老板又回答说: 『我们是做洗衣房标记的, 不洗衣服』。这很有点像数学家。数学家们只做普遍适合的标记, 而物理学家却创造了大量的数学。」
杨振宁教授的故事是一则深刻的寓言。数学圈外的人们对数学家们「只做标记, 不洗衣服」的做法是不赞成的。数学家Ulam 在引了杨振宁的「笑话」之后, 问道, 信息论是工程师C. Shannon 创立的, 而纯粹数学家为什么不早就建立起来? 他感叹地说:「现今的数学和19世纪的数学完全不同, 甚至百分之九十九的数学家不懂物理。然而有许许多多的物理概念, 要求数学的灵感, 新的数学公式, 新的数学观念。」
二. 理论物理的「猜」和数学的「证」
1995年12月, 杨振宁先生接到复旦大学校长杨福家的来信, 请杨振宁在1996年5月到复旦为「杨武之讲座」做首次演讲。杨武之教授是杨振宁的父亲, 又是中国数学前辈,早年任清华大学数学系系主任多年, 五十年代后则在复旦大学任教授, 所以杨振宁很愉快地接受了邀请。但是他不能像杨福家校长要求的那样做20次演讲, 只准备讲三次。顺着这一话题, 杨振宁先生又谈了理论物理和数学的一些关系。
杨先生说:「理论物理的工作是『猜』, 而数学讲究的是『证』。理论物理的研究工作是提出『猜想』, 设想物质世界是怎样的结构,只要言之成理, 不管是否符合现实, 都可以发表。一旦『猜想』被实验证实, 这一猜想就变成真理。如果被实验所否定, 发表的论文便一文不值(当然失败是成功之母,那是另一层意思了)。数学就不同, 发表的数学论文只要没有错误, 总是有价值的。因为那不是猜出来的, 而有逻辑的证明。逻辑证明了的结果, 总有一定的客观真理性。」
「正因为如此, 数学的结果可以讲很长的时间, 它的结果以及得出这些结果的过程都是很重要的。高斯给出代数学基本定理的五种证明, 每种证明都值得讲。如果让丘成桐从头来讲卡拉比(Calabi) 猜想的证明, 他一定会有20讲。但是教我讲『宇称不守恒』是怎么想出来的, 我讲不了多少话。因为当时我们的认识就是朝否定宇称守恒的方向想,『猜测』不守恒是对的。根据有一些, 但不能肯定。究竟对不对, 要靠实验。」
杨先生最后说:「理论物理的工作好多是做无用功, 在一个不正确的假定下猜来猜去,文章一大堆, 结果全是错的。不像数学, 除了个别错的以外, 大部分都是对的, 可以成立的」。
杨先生的这番话, 使我想起不久前Quine 和Jaffe 的一篇文章, 发表于Bulletin of AMS,1993年8月号, 曾引起相当的轰动。该文的主题是问「猜测数学是否允许存在? 」。其中提到, 物理学已经有了分工, 理论物理做「猜测」, 实验物理做「证明」。但是数学没有这种分工。一个数学家, 既要提出猜想, 又要同时完成证明。除了希尔伯特那样的大人物可以提出23个问题, 其猜想可以成为一篇大文章之外, 一般数学家至多在文章末尾提点猜想以增加读者的兴趣, 而以纯粹的数学猜想为主体的文章是无处发表的。因此, 两位作者建议允许「理论数学」, 即「猜测数学」的存在。
这样一来, 现在有两种相互对立的看法。一方面, 物理学界中像杨振宁先生那样, 觉得理论物理的研究太自由, 胡乱猜测皆成文章,认为数学还比较好的。另一方面, 数学界如Quine 和Jaffe 那样, 觉得目前数学研究要求每个结论都必需证明的要求, 太束缚人的思想。应该允许人们大胆地猜测, 允许有根据而未经完全确认的数学结论发表出来。二者孰是孰非, 看来需要一个平衡。许多问题涉及哲学和社会学层面, 就不是三言两语可以解决的了。
三. 复数、四元数的物理意义
虚数i=p−1 的出现可溯源于15世纪时求解三次方程,但到18世纪的欧拉时代,仍称之为「想象的数」(imaginary)。数学界正式接受它要到19世纪, 经Cauchy, Gauss, Riemann, Weierstrass 的努力, 以漂亮的复变量函数论赢得历史地位。至于在物理学领域, 一直认为能够测量的物理量只是实数,复数是没有现实意义的。尽管在19世纪, 电工学中大量使用复数, 有复数的动势, 复值的电流, 但那只是为了计算的方便。没有复数,也能算出来, 只不过麻烦一些而已。计算的最后结果也总是实数, 并没有承认在现实中有真有「复数」形态的电流。鉴于此, 杨振宁先生说, 直到本世纪初,情况仍没有多少改变。一个例证是创立量子电动力学的薛定谔(Schrodinger)。1926年初, 据考证, 他似乎已经得到现在我们熟悉的方程
