数学故事-我已经说了无数次了

这是一座普通城市的普通中学的一趟普通的初中英语课，但却是费晓马最不喜欢的课程。费晓马本来就对英语不感兴趣，偏又遇上一个脾气古怪，整天板着脸的中年女英语老师。这天的英语课教的是序数词，费晓马例行地想心事，根本没在听。

英语老师看费晓马走神了，直接让他回答问题：“费晓马，请你中译英这句话：我上次考试得了第一名”？费小马条件反射地站了起来，一词一顿地说：“啊，I am first in last exam......”。

还没等费晓马说完，老师直接打断了他：“我已经说过无数次了，序数词前要加定冠词‘the’，the first......你还要我说几遍啊！回去把今天的例句抄10遍！”

费晓马沮丧地坐了下来，心想：这堂课赶紧过去吧。脑子又开始放空，开始思考一些数学题来。费晓马很喜欢数学，绰号”小费马”，数学是他最喜欢的科目。

想着想着，忽然不知不觉中，英语老师不见了，数学老师站在讲台上，好像数学课开始了。

数学老师是费晓马最喜欢的李老师，年轻，举止文雅，谈吐幽默，很能跟学生打成一片。这时李老师提问了：“上一堂课我们教‘递归’概念的时候，讲了个有“递归”的故事，谁还记得那个故事？”

费晓马在数学课上最积极了，马上站了起来，说：老师，我记得。那个故事是这样的，从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和小和尚。有一天，老和尚对小和尚说：从年有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和小和尚......就这么下去，老和尚和小和尚的故事怎么也说不完”。

“很正确!”，李老师追问：“那么费晓马，如果你是故事里最里面的那个老和尚，你会怎么终结故事呢？”

费晓马不假思索地说：“那个老和尚对小和尚说：‘这个故事，我已经说了无数次了啊！’” 听到费晓马说出了英语老师的口头禅，教室里哄堂大笑。

李老师也笑了，说：“你为什么认为‘我已经说了无数次了’这句话可以终结这个故事呢？”

费晓马说：“无数次嘛，就表示后面还可以说很多很多次，但都省略不说了，所以就用无数次概括了。但是，没有人真的可以说无数多次，所以这样说大概不太对”。

李老师微微一笑，推了一下眼镜，说：“其实，‘我已经说了无数次’， 这句话也并非没有完全意义，如果我们把这句话用序数来理解的的话。”

费晓马一下子紧张了：“老师，这不会跟英语里的序数词有啥关联吧？”

李老师说：“费晓马，你不用怕英语到这程度吧。别怕，不考你英语。我们就看看能不能赋予’我已经说了无数次’，这句话一点意义，但会牵扯到数学里的序数概念。你看，如果我们把‘无数次’算作一个数字的话，那‘我已经说了无数次’这句话，就跟我们平时说的，‘我已经说了一百次，一千次’一样，都是有意义的。”

“但是老师，‘无数次’到底算是一个什么数字呢”？

李老师说：“比任何自然数都大的一个数！我知道这很难理解，但这是数学里很有意思的地方，因为它是一个可以与‘无穷大’打交道的学科。

“比全体自然数大，这句话确实无法理解，因为在常规的大和小的意义下，这句话是不对的。但数学里有其他比大小的方法，比如集合中的包含和子集。一个集合里的元素完全可以是无穷多的，它也可以包含其他有无穷多个元素的集合，没有问题。”

费晓马似懂非懂地问：“这跟‘无数次’有什么关系吗’？

李老师说：“有啊，你可以这样理解：

“我已经说了n次” 这句话，相当于‘我说：“我已经说了n-1次了”’，你看，这是不是很像一个集合包含了另一个集合，也有点像递归？”

“对”，很多学生同时答到。

“那我们我再定义：‘我已经说了无数次了’，这句话描述了一个集合，其中包含了所有的‘我说了n次’的情况，n可以是任何的自然数，这样，‘我已经说了无数次了’，这句话不就有意义了吗？

费晓马思索了一下，困惑地说：老师，这样真有什么意义吗？‘说了n多次，无数次’，这种话，我们平时开开玩笑而已，数学里有什么用吗？”

李老师说：“现在看确实没啥用，但是如果我们能在‘无数次说’了之后，再‘说一次’，那就有意思了。”

“无数次之后再说一次？”费晓马更困惑了。

李老师暗下一乐，说：“既然我们在说集合，并且一个集合包含另一个集合，就表示前者更大，那我们只要定义一个集合，包含了‘我说了无数次’这个集合就可以了。你们想下这句话：‘我说：我已经说了无数次了’，那么你们觉得我一共说了几次呢？”

“难道是无数次加一？”，费晓马问？

李老师说：“对啊，根据我们之前集合递归包含的规则，这就是无数次加一次啊。记住，我们现在就可以把‘无数次’当做一个数字来处理，虽然它的本质是全体自然数构成的集合。另外要记住一点，现在的加法是没有交换律的，比如‘1+无数次’就不等于‘无数次+1’，费晓马你说说看为什么这样？”

费晓马开始思考起来，说：“‘我说了1+无数次’，那就相当于我先说了一次，然后又说：‘我说了无数次’；但是‘无数次’里包含了那一次，所以总体只说了‘无数次’。但是，这句话：‘我说：我已经说了无数次了’，根据我们递归规则，外面这次确实包含了里面的那句话，所以相当于说了‘无数次+1’次。”

李老师对费晓马相当满意，说：“太对了，你要记住，现在的讨论里，次序会很重要，因为我们牵涉到无穷这个概念。”

费晓马一下子来劲了，继续思考：“对啊，不管你先说了多少次，后面如果说了无数次，那么总数上还是无数次啊，次序换过来就不一样了。那么老师，这样看的话，这句话：‘我说，“我说：我已经说了无数次”’这句话，就是我说了无数次+2次吧。”

李老师答复：“对。”

“那么这句话：‘我已经说了无数次：我已经说了无数次’，这句话算说了几次呢？”，费晓马抛出了他真正想问的问题。

李老师也早有准备：“那我们需要返回之前的定义。之前我们只定义了：’我说了：我已经说了n次‘，这句话的含义，其结果相当于说了n+1次。但是没有定义这种句式：‘我说了p次：我已经说了q次’。现在需要定义一下这种句式的含义。

根据我们日常经验：‘我已经说了两次：这事我已经说了三次了’。总体上是不是感觉说了六次。那么之前那句话，我们就可以定义成乘法关系，‘我说了p次：我已经说了q次’，这句话总体上就是说了q乘以p次。”

“那么‘我已经说了2次：我已经说了无数次’ 就是我已经说了2倍的无数次！”。费晓马忍不住插了一句。

李老师微微点头，继续说：“但要注意，一旦涉及到‘无数次’，次序又变得重要起来。比如‘我已经说了无数次：我说了两次了’。这句话，总的次数应该写成2乘以无数次，但结果仍然是无数次。因为说再多的‘两次’，最终也会被外面的‘无数次’覆盖了，超不过‘无数次’。

但是，’我已经说了两次：我说了无数次了‘，这句话确实是‘我已经说了无数次乘以2次’，就是两倍于无数次。而‘两倍于无数次’确实比‘无数次’大，所以我们这里，乘法交换律也不成立，这一点需要注意。”

费晓马顿有所悟，有点兴奋得说：“那老师，这样看来，‘我说了无数次：我已经说了无数次’，这句话就应该是‘无数次’乘以‘无数次’，等于‘无数次的平方次’了吧？”

“对啊，简单吧。那之后你还可以继续……”

没等李老师说完，费晓马迫不及待地说：“那还可以有无数次的3次方，无数次的4次方，以至于无数次的无数次方对吧.....”

刚到这里，费晓马忽然又听到一个不想听到声音：“费晓马，你上课又打瞌睡了，你告诉我，我刚才说了啥？”

啊，原来还是英语课啊，费晓马迷迷糊糊地的，也不知道哪来的勇气：“老师，你刚才说，你已经说了无数次了，但你其实已经说过了无数次‘我已经说了无数次了’！”。

课堂里一阵哄笑，费晓马这次真的醒了过来。原来现在只是早上，费晓马还躺在自己的床上。

费晓马心想：“还好只是梦啊，都怪我昨天睡前听大老李讲序数，做了这么一个梦中梦。不过以后我知道原来'我说了无数次'这句话还是有意义的啊。”想到这，费晓马似乎觉得英语老师的这句口头禅也不是那么讨厌了。

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(未完，续不续看反响......)